Matematika - Program Linier

BAB I
PENDAHULUAN


1.1 Latar Belakang
    Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik.
    Mengingat peranan matematika yang semakin besar dalam tahun-tahun mendatang, tentunya banyak sarjana matematika yang sangat dibutuhkan yang sangat terampil, andal, kompeten, dan berwawasan luas, baik di dalam disiplin ilmunya sendiri maupun dalam disiplin ilmu lainnya yang saling menunjang.
    Untuk menjadi sarjana matematika tidaklah mudah, harus benar-benar serius dalam belajar, selain harus belajar matematika, kita juga harus mempelajari bidang-bidang ilmu lainnya. Sehingga, jika sudah menjadi sarjana matematika yang dalam segala bidang bisa maka sangat mudah untuk mencari pekerjaan.

    Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.” Disiplin utama dalam matematika di dasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi.    
    Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran tentang struktur yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri.
    Dan pengertian dari perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam ilmu alam dan kalkulus.


1.2 Tujuan Penulisan
    Suatu pembelajaran matematika tidaklah sulit, ada cara untuk mempermudah dalam belajar matematika yaitu dengan cara Pembelajaran Matematika Realistik. Dimana pembelajaran ini menghubungkan dengan kehidupan sehari-hari. Dalam penulisan makalah ini bertujuan:
1. Untuk mempermudah siswa dalam belajar matematika dapat menggunakan dalam pembelajaran matematika realistik.
2. Guru dalam menyampaikan materi harus mempunyai strategi dalam pembelajaran matematika, supaya siswa tidak bosan dalam pembelajaran matematika.
3. Supaya siswa mengetahui betapa menyenangkan mempelajari matematika.
4. Untuk mengetahui lebih jelas lagi tentang pembelajaran matematika realistik.
5. Untuk memaparkan secara teori pembelajaran matematika realistik.
6. Untuk pengimplementasian pembelajaran matematika realistik.
7. Kaitan antara pembelajaran matematika realistik dengan pengertian.

1.3 Pertanyaan Penulisan
1. Apa yang dimaksud dengan pembelajaran matematika realistik?
2. Bagaimana cara strategi seorang guru dalam pembelajaran matematika supaya siswa menyukai pembelajaran matematika?
3. Kenapa matematika tidak disukai oleh siswa?
4. Karakteristik apa saja yang ada dalam RME?
5. Mengapa siswa selalu lupa dengan konsep yang telah dipelajari?

BAB II

1.    Pengertian  Program Linier
        Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.
A.    Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.
     Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).
    Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >,  , dan  

Contoh 1:

1.Tentukan himpunan  penyelesaian dari
    a. x < 3    d. y > 2
    b.x   2    e. y   -1
    c. y  > - 3
Jawab :
1.a. x < 3
                      




B. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah penyelesaian
   
Contoh  1: 
           
    Tunjukan  himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan
    
2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y   R
    
          Jawab :
     Langkah – langkah :
     Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :
  
  i.  Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table
         Jika x = 0 maka y = 6
         Jika y = 0 maka x = 3
              Tabel
x    0    3
y    6    0

     ii. Buatlah garis  x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di sebelah kanan sumbu y.
 
   iii.Buatlah garis  y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di atas sumbu x.
  
    iv.Gambar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan 
         penylesaiannya :

     v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤
6 maka titik ( 0,0 )
         memenuhi.
                -     -      -                 +      +      +
 


 







    Contoh 2 :

a.     Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )
    
        Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.

Contoh :
        Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

        Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas
Misalkan : Paku jenis I = x dan
                              Paku jenis II = y
            Tabel
Barang    Bahan A    Bahan B
Paku jenis I    200 gram    75 gram
Paku jenis II    150 gram    50 gram
Jumlah    5.500 gram    2.000 gram
       
        Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500
75x + 50y ≤ 2.000
x ≥ 0
y ≥ 0
       




    Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas

200x + 150y ≤ 5.500  4x + 3y ≤ 110
75x + 50y ≤ 2.000       3x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
     Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

   4x + 3y ≤ 110                             
x    0   

y   
0


  3x + 2y ≤ 80
x    0   

y    40    0

     Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah
  
4x + 3y = 110   x2  8x + 6y = 220
3x + 2y = 80     x3  9x + 6y = 240      
                               - x         = -20
                                        x   =  20    
untuk x = 20
3x + 2y = 80  3.20 + 2y = 80
                                      2y = 80 – 60
                                        y =   = 10 maka titik potong (20,10)
     Gambar grafik fungsi penyelesaiannya

                                    

     Daerah  himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik

      optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)


     Nilai fungsi obyeknya adalah :
       Untuk O(0,0)         z = 500.0 + 350.0 = 0
       UntukA(80/3,0)    z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000
       UntukB(20,10)     z = 500.20 + 350.10 = 13.500
       UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000
   
     Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp
13.500,00 maka
      pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku

C.    Garis Selidik dengan Persamaan ax + by = k

    Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k   R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ;   
3x +2y = k2 maka 3.0 + 2.5 = 10
         
  3x +2y = k2 maka 3.5 + 2.0 = 15
          
 Jadi nilai maksimum adalah 15